بعد فراکتال

تعیین ابعاد فراکتال فراکتال های هندسی مانند مثلث Sierpinski نسبتاً آسان است. ما در آخرین بخش یاد گرفتیم که چگونه می توان بعد یک خط ساحلی را محاسبه کرد. اما همه فراکتال های طبیعی به راحتی اندازه گیری نمی شوند. در این بخش ، روشی را برای محاسبه ابعاد فراکتال های پیچیده تر می آموزیم.

چگونه می توانیم ابعاد یک شی مانند درخت فوق را محاسبه کنیم؟اکنون روش شمارش جعبه را یاد خواهیم گرفت ، که به طور گسترده ای برای تعیین بعد فراکتال اشیاء مانند این استفاده می شود.

روش شمارش جعبه شبیه به روش اندازه گیری پیرامونی است که ما برای خطوط ساحلی استفاده کردیم. اما در این حالت ، تصویر را با یک شبکه می پوشانیم ، و سپس تعداد جعبه های شبکه را پوشش می دهد که بخشی از تصویر را پوشش می دهد. سپس ما همین کار را انجام می دهیم اما با استفاده از یک شبکه ریزتر با جعبه های کوچکتر. با کوچک کردن اندازه شبکه به طور مکرر ، ما در نهایت با دقت بیشتری ساختار الگوی را ضبط می کنیم.

با استفاده از روش شمارش کادر ، بعد Fractal دوباره شیب خط است که مقدار ورود به سیستم (n) را روی محور y در برابر مقدار ورود به سیستم (R) روی محور x ترسیم می کنیم. از همان معادله برای تعریف بعد فراکتال استفاده می شود ، د. این بار ، N تعداد جعبه هایی است که الگوی را پوشش می دهد ، و R بزرگنمایی یا معکوس اندازه جعبه است.

مجدداً شیب خط برابر با ابعاد است و به عنوان مقدار تغییر در امتداد محور y تعریف می شود ، که بر اساس میزان تغییر در امتداد محور x تقسیم می شود. دامنه ها (و ابعاد) برای این نوع تجزیه و تحلیل بین 1 تا 2 متغیر است ، که مربوط به دامنه بین خطی است که مستقیم است (ابعاد = 1) و یک خط که بسیار پیچیده است ، یک هواپیمای 2 بعدی را به طور کامل پر می کند. یک شیب تندتر به این معنی است که جسم "به طرز وحشیانه ای" تر است ، یعنی با کاهش اندازه جعبه ، پیچیدگی را بدست می آورد. یک شیب صاف و کم ارزش به این معنی است که جسم به یک خط مستقیم ، کمتر "به طرز وحشیانه" نزدیکتر است و میزان جزئیات با افزایش رشد سریع به سرعت رشد نمی کند.

اپلت زیر به شما اجازه می دهد تا با شمارش چند جعبه شکل با اندازه های مختلف شبکه ، ابعاد شکل های مختلف فراکتال را کشف کنید. جعبه ها اگر با برخی از تصویر همپوشانی داشته باشند ، به رنگ آبی رنگ هستند و در صورت عدم استفاده از آن سفید هستند.

با اپلت بالا بازی کنید. فراکتال های مختلف را از منوی Pulldown انتخاب کنید. برای پوشاندن تصویر با یک شبکه از اندازه مربوطه ، روی دکمه های برچسب زده شده از 128 تا 1 کلیک کنید. عدد روی دکمه به اندازه جعبه اشاره دارد که معکوس عامل بزرگنمایی است. در هنگام کلیک ، تماشای نقاط در نمودار و شیب خطی که این نقاط روی آن قرار می گیرند ظاهر می شوند. بعد فراکتال است.

سؤالات: از اپلت بالا برای تعیین ابعاد فراکتال استفاده کنید: الف) منحنی مرز برفی Koch - سطح 1: [] ب) منحنی مرز برفی Koch - سطح 1: [] c) منحنی مرز برف کوش - سطح 1:[] د) منحنی مرز برف کچ - سطح 1: [] کدام یک از این اندازه گیری ها به بعد فراکتالی نظری منحنی Koch نزدیکترین است که چند صفحه قبل گرفته شده است؟(A ، B ، C یا D) []

ابعاد فراکتال می تواند بسیار مفید باشد. اما - ما باید مراقب باشیم که فقط به دلیل اینکه از رایانه ای با یک برنامه تجزیه و تحلیل ابعاد فراکتال فانتزی بیرون می آید ، اعتماد زیادی به یک عدد نداشته باشیم. چیزهای زیادی وجود دارد که باید هنگام تفسیر نتایج محتاط باشید. از یک چیز ، به یاد داشته باشید که ما واقعاً در حال تجزیه و تحلیل ابعاد فراکتال یک درخت نیستیم وقتی تصویری از یک درخت را به آنالایزر بالا وصل می کنیم. در عوض ، ما در حال تجزیه و تحلیل تصویر مسطح یک درخت هستیم. بنابراین در حالی که یک درخت واقعی در جایی بین 2 تا 3 ابعاد فراکتالی دارد ، تصویر مسطح یک درخت فقط می تواند یک بعد بین 1 تا 2 داشته باشد. با این وجود ، ما هنوز هم می توانیم از این اطلاعات استفاده کنیم..

نکته دیگری که باید مراقب باشید روشی است که برای تهیه تصاویر برای تجزیه و تحلیل استفاده می شود. جهان همه سیاه و سفید نیست ، بلکه پر از سایه های خاکستری (و حتی رنگ ها!) است اما آنالایزر ابعاد فقط با تصاویر سیاه و سفید کار می کند. بنابراین نحوه تبدیل یک تصویر واقعی به یک تصویر سیاه و سفید می تواند بر بعد تأثیر بگذارد. باید مراقب باشید که چه ویژگی های تصویر را شامل می شود یا فیلتر می شود.

سؤال: از اپلت بالا برای تعیین بعد فراکتال ساحل انگلیس استفاده کنید: [] آیا مقدار محاسبه شده شما بیشتر از مقادیر ذکر شده در صفحه قبلی است؟[] فکر می کنید چرا ممکن است این باشد؟[---]

چرا ما به بعد فراکتال اهمیت می دهیم؟این چگونه مفید است؟بعد فراکتال ابزاری است که به ما امکان می دهد الگوهای و شکل هایی را در طبیعت توصیف کنیم که قبلاً خارج از دسترس ریاضیات بوده اند. اکنون می توانیم به صورت کمی الگوی را توصیف کنیم و این به ما امکان می دهد تا آن را مطالعه کنیم. الگوهای فراکتال داستانی را در مورد فرآیندهای تکراری که آنها را ایجاد کرده است می گوید. بررسی بعد فراکتال می تواند به روشن شدن فرآیندها کمک کند. اکنون ما ابزاری داریم که می تواند به ما اجازه دهد سؤالات قدرتمندی بپرسیم و فرضیه هایی را در مورد ماهیت اساسی آزمایش کنیم. طبیعت

چرا برخی رودخانه ها از سایرین پیچ خورده تر هستند؟چگونه شاخه گونه های داده شده در شرایط مختلف محیطی تغییر می کند؟چگونه می توانید در یک تصویر MRI یک ریه سالم را از یک بیمار بگویید؟در کدام نوع خاک گیاه بهتر رشد خواهد کرد؟اینها فقط تعدادی از انواع بی شماری از سؤالات است که دانشمندان می توانند با استفاده از ابزار جدید قدرتمند ابعاد فراکتال از آنها بپرسند - و پاسخ دهند.

نمونه های بیشتری را در فصل آخر ، در مورد برنامه های فراکتال مشاهده خواهیم کرد. اما در مرحله اول ، ما جذابیت باستانی و بی موقع از فراکتال های فیبوناچی ، از جمله نسبت جهانی ، میانگین طلایی را کشف خواهیم کرد.